Beam-SNARK 的工作原理

零知识简洁非交互式知识论证 (Beam-SNARK) 是一种开创性的方法，它允许人们在不透露任何其他信息的情况下证明陈述的真实性。但这为什么有用呢？

零知识证明有广泛的应用场景，例如：

1. 关于私人数据的证明陈述：

确认某人的银行余额超过某个限额，但不透露具体金额。
核实银行在过去一年内没有与特定实体进行过交易。
匹配 DNA 样本但不透露完整的基因图谱。
显示高于一定值的信用评分但不透露详细信息。

2. 匿名授权

证明用户有权访问网站的限制区域，而无需分享其身份（例如登录凭据）。
确认在授权地区的居住权但不透露具体位置。
在不透露身份的情况下验证有效地铁通票的所有权。

3. 匿名支付：

无需关联身份即可进行付款。
不披露收入而纳税。

4. 外包计算：

委托复杂的计算，同时确保结果正确，无需重复工作。
将区块链模型从通用计算转变为一方计算、其他方验证的模型。

零知识证明的底层数学和密码学简直就是奇迹。自 1985 年开创性的论文“交互式证明系统的知识复杂性”以来，该领域已经活跃了四十多年。非交互式证明的引入在区块链环境中尤为关键。

在任何零知识证明系统中，都有两个关键参与者：

证明者：想要让验证者相信某个陈述的真实性的人。
验证者：无需获取任何额外知识即可检查证明者主张的有效性的人。

该系统必须满足三个核心属性：

完整性：如果陈述是真实的，则证明者可以说服验证者。
健全性：作弊的证明者无法让验证者相信错误的陈述。
零知识：交互仅揭示陈述是否真实，而不揭示其他任何内容。

Beam-SNARK 将这些原理应用于通用计算，为实际应用提供了一个优雅的解决方案。

证明的媒介

为了理解 Beam-SNARK，让我们从一个简单的例子开始，而不深入研究零知识或交互性。

假设我们有一个 10 位的数组，并且我们想要向验证者（例如，程序）证明所有位都设置为 1。

假设我们有一个长度为 10 的位数组，并且我们想要向验证者（例如程序）证明所有这些位都设置为 1。

验证者每次只能检查一位。为了验证该声明，验证者可以按随机顺序检查位：

一次成功检查后，验证者对该声明的信心为 10%。
如果某个位为 0，则该断言立即被推翻。
为了获得更高的置信度（例如 50% 或 95%），验证者必须执行更多检查，与阵列的大小成正比。这种方法对于大型数据集来说不切实际。

相反，我们可以利用具有独特属性的多项式。多项式在图形上显示为曲线，由数学方程定义。

上图曲线对应多项式：f(x) = x³ — 6x² + 11x — 6。多项式的次数由其 x 的最大指数决定，在本例中为 3。

多项式有一个优点，即如果我们有两个次数最多为 d 的不相等多项式，它们最多只能在 d 个点处相交。例如，让我们稍微修改一下原始多项式 x³ — 6x² + 10x — 5，并将其可视化为绿色：

如此微小的变化会产生截然不同的结果。事实上，不可能找到两个不相等的多项式，它们共享一条连续的曲线块（单点块的情况除外）。

此属性源自查找公共点的方法。如果我们想找到两个多项式的交点，我们需要使它们相等。例如，要找到多项式与x轴的交点（即f ( x ) = 0），我们使x ³ — 6 x ² + 11 x — 6 = 0相等，并且该等式的解将是这些公共点：x = 1、x = 2 和x = 3，您也可以清楚地看到，在上图上蓝色曲线与x轴线相交的位置，情况确实如此。

同样，我们可以将原始多项式和修改后的多项式相等来找到它们的交点。

所得到的多项式是 1 阶的，显然有一个解x = 1。因此只有一个交点：

对于任意次数为d 的多项式，任何此类方程的结果始终是次数最多为d的另一个多项式，因为没有乘法可以产生更高的次数。例如：5 x ³ + 7 x ² — x + 2 = 3 x ³ — x ² + 2 x — 5，简化为 2 x ³ + 8 x ² — 3 x + 7 = 0。代数基本定理告诉我们，次数为d 的多项式最多可以有d 个解（更多内容见下文），因此最多有d 个共享点。

因此，我们可以得出结论，在任意点处对任何多项式的求值类似于对其唯一身份的表示。让我们在x = 10 处求值示例多项式。